Eksponen Lokal Masuk Digraf Dwiwarna Dengan Panjang Cycle n dan 2n + 1

Abstract

A two colored digraph D(2) is a digraph whose each of its arcs is colored by either red or black. Suppose that m and h are nonnegative integers. A (m; h) walk is a walk whose length m + h consisting of m red arcs and h black arcs. The smallest of such positive integer m + h over all nonnegative integers m and h such that for each pair of vertices u and v in D(2) there is a (m; h)-walk from u to v that is de ned exponent of D(2) and denoted by exp(D(2)). The inner local exponent of a vertex vi in D(2), denoted expin(vi;D(2)), is de ned to be the smallest positive integer m + h over all nonnegative integers m and h such that for each vertex in D(2) to vi there is a walk consisting of m red arcs and h black arcs. Hamiltonian digraph is a digraph containing hamiltonian cycle. This research discuss about inner local exponent of primitive digraph consist of exactly two cycle of length n and 2n+1. Inner local exponent problem is solved using diophantine simultanious system. The Inner local exponent of primitive two colored digraph, whose cycle are n and 2n + 1, for each t = 1; 2; ; n, generally is expin(vt;D(2)) = expin(v1;D(2)) + d(v1; vt).

Sebuah digraf dwiwarna D(2) adalah sebuah digraf yang setiap busurnya diwarnai dengan salah satu dari dua warna, dalam hal ini merah atau hitam. Andaikan m dan h adalah bilangan bulat tak negatif. Sebuah jalan (m; h) adalah sebuah jalan dengan panjang m + h yang terdiri atas busur merah m dan busur hitam h. Bilangan bulat positif terkecil m+ h atas semua bilangan bulat tak negatif m dan h sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D(2) terdapat sebuah jalan (m; h) dari u ke v disebut eksponen dari D(2) dan dinotasikan dengan exp(D(2)). Eksponen lokal masuk dari sebuah titik vi di D(2) dinotasikan dengan expin(vi;D(2)) adalah bilangan bulat positif terkecil m + h atas semua bilangan- bilangan bulat tak negatif m dan h sedemikian sehingga terdapat jalan dari setiap titik di D(2) ke vi yang terdiri atas m busur merah dan h busur hitam. Digraf hamilton adalah digraf yang memuat cycle hamilton. Penelitian ini membahas tentang eksponen lokal masuk dari digraf dwiwarna primitif hamilton yang terdiri atas tepat dua cycle dengan panjang n dan 2n + 1. Permasalahan eksponen lokal masuk diselesaikan dengan pendekatan sistem persamaan diophantine. Nilai eksponen lokal masuk digraf dwiwarna primitif dengan panjang cycle n dan 2n+1 untuk setiap t = 1; 2; : : : ; 2n+1 secara umum adalah expin(vt;D(2)) = expin(v1;D(2)) + d(v1; vt).